Question

10．如图1，点D位于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比例中项．
（1）求证：∠ACB=∠ABD；
（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，CA=6时，求证：DE=DF．

Answer 1

分析 （1）证出△ABD∽△ACB，得出对应角相等即可；
（2）由相似三角形的性质得出对应边成比例求出AD=$\frac{8}{3}$，BD=$\frac{10}{3}$，得出BD=CD，由等腰三角形的性质得出∠DBC=∠ACB，证出∠ABD=∠BDC，再证明点B、E、D、F四点共圆，由圆周角定理得出$\widehat{DE}=\widehat{DF}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB是AD与AC的比例中项．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ACB=∠ABD；
（2）证明：∵△ABD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{AD}{4}=\frac{BD}{5}=\frac{4}{6}$，
解得：AD=$\frac{8}{3}$，BD=$\frac{10}{3}$，
∴CD=AC-AD=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ABD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠EDF=∠A+∠C，∠A+∠C=180°-∠ABC，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴点B、E、D、F四点共圆，
∴$\widehat{DE}=\widehat{DF}$，
∴DE=DF．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四点共圆是解决问题（2）的关键．