Question

18．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，则k的值为5或4．

Answer 1

分析 先计算判别式的值得到△=1，则可利用求根公式得到方程的解为x₁=k+1，x₂=k，则得到AB和AC的乘为k+1，k，然后根据等腰三角形的性质得到k+1=5或k=5，从而可确定k的值．

解答 解：△=（2k+1）²-4（k²+k）=1，
所以x=$\frac{2k+1±1}{2}$，解得x₁=k+1，x₂=k，
当k+1=5时，解得k=4，此时△ABC是等腰三角形
当k=5时，此时△ABC是等腰三角形，
即k为值为5或4．
故答案为5或4．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．