Question

3．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切．
求⊙C的半径．

Answer 1

分析 首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．

解答 解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC²+BC²=3²+4²=5²=AB²，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
即CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴⊙C的半径为 $\frac{12}{5}$，

点评 此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．