Question

如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=

1

x

与一次函数y=kx+b（k＞0）分别交于点A与点B，直线与y轴交于点C，把直线AB绕着点C旋转一定的角度后，得到一条新直线．若新直线与双曲线y=

-1

x

相交于点E、F，并使得双曲线y=

1

x

，y=

-1

x

，连线y=kx+b以及新直线构成的图形能关于某条坐标轴对称，如果点A的横坐标为1，则点A、点E、点B、点F构成的四边形的面积是多少？（用含k的代数式表示）

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：将A横坐标代入反比例y=

1

x

中，求出y的值确定出A的纵坐标，将A坐标代入y=kx+b中表示出b，得到一次函数解析式，与反比例解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解表示出B坐标，由双曲线y=

1

x

与y=-

1

x

与直线y=kx+b以及新直线的对称性可得：点A与点E关于y轴对称，点B与点F关于y轴对称，表示出E与F坐标，进而确定出AE与BF，且AE与BF的距离为k+1，利用梯形的面积公式表示出梯形AEBF的面积即可．

解答：解：∵x_A=1，A点在y=

1

x

上，
∴y_A=1，
把点A（1，1）代入y=kx+b中得：1=k+b，
∴b=1-k，
∴y=kx+（1-k），
由

y= 1 x y=kx+(1-k)

，消去y得：

1

x

=kx+（1-k），
整理得：kx²+（1-k）x-1=0，
∴x₁=1，x₂=-

1

k

，
∴点B的坐标为（-

1

k

，-k），
由双曲线y=

1

x

与y=-

1

x

与直线y=kx+b以及新直线的对称性可得：
点A与点E关于y轴对称，点B与点F关于y轴对称，
∴E（-1，1）、F（

1

k

，-k），
∴AE=2，BF=

2

k

，AE与BF的距离为k+1，
∴S_梯形AEBF=

2+ 2 k

2

（k+1）=（1+

1

k

）（k+1）=k+

1

k

+2．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，坐标与图形性质，以及对称的性质，由双曲线y=

1

x

与y=-

1

x

与直线y=kx+b以及新直线的对称性可得：点A与点E关于y轴对称，点B与点F关于y轴对称是解本题的关键．