Question

16．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．
（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形BPDQ为菱形？
（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间△DPQ为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可得出AB∥CD，再由点P、Q移动的速度相同即可得出四边形BPDQ是平行四边形，如要四边形BPDQ是菱形只需BP=DP，设经过xs，四边形BPDQ是菱形，用x表示出BP、DP，由此即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）由∠PDQ≠90°可知△DPQ为直角三角形分两种情况．①当∠DPQ=90°时，过点Q作QM⊥AB于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值；②当∠DQP=90°时，则AP+CQ=16，由此可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出x值．综上即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∵点P、Q均以3cm/s的速度移动，
∴AP=CQ，
∴BP=DQ，
∴四边形BPDQ是平行四边形，
∴当BP=DP时，四边形BPDQ是菱形．
设经过xs，四边形BPDQ是菱形，则有AP=3xcm，BP=（16-3x）cm，
由勾股定理得：DP²=（3x）²+6²，
∴DP²=（3x）²+6²=（16-3x）²，
解得：x=$\frac{55}{24}$．
答：经过$\frac{55}{24}$s时四边形BPDQ是菱形．
（2）∵点P不与点A重合，
∴∠PDQ≠90°，
∴△DPQ为直角三角形分两种情况：
①当∠DPQ=90°时，△DPQ为直角三角形，过点Q作QM⊥AB于M，易得四边形BCQM为矩形，如图所示．
∵AP=3xcm，BM=CQ=2xcm，则PM=（16-5x）cm，DQ=（16-2x）cm，
∴（16-5x）²+6²+（3x）²+6²=（16-2x）²，
解得：x₁=2，x₂=$\frac{6}{5}$；
②当∠DQP=90°时，AP+CQ=16，
所以3x+2x=16，解得：x=$\frac{16}{5}$．
综上可知：经过2s、$\frac{6}{5}$s或$\frac{16}{5}$s时，△DPQ为直角三角形．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理得逆定理以及菱形的判定，解题的关键是：（1）根据邻边相等找出关于x的一元二次方程；（2）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的判定、勾股定理得逆定理得出关于x的方程是关键．