Question

10．在平面直角坐标系中，坐标原点为O，直线l₁：y=-x+2与y轴交于点B．直线l₂：y=-$\frac{1}{2}$x+b与l₁交于点N（点N不与B重合）．设△OBN的面积分别为S，当0≤b≤1时，求S关于b的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 先求出y=-x+2和y=-$\frac{1}{2}$x+b的交点N的坐标，根据三角形的面积公式表示出三角形OBN的面积，根据一次函数的性质求出S的最大值．

解答 解：y=-x+2与y轴交于点B的坐标（0，2），
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x+b}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2b}\\{y=2b-2}\end{array}\right.$，
则点N的坐标（4-2b，2b-2），
△OBN的面积S=$\frac{1}{2}$×2×（4-2b）=4-2b，
即S=-2b+4，
∵-2＜0，
∴S随b的增大而减小，
∴当x=0时，S有最大值4．

点评 本题考查的是两条直线的交点的求法和一次函数的性质，列出二元一次方程组、解方程组求出交点坐标是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．