Question

1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点F，则EF的长为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=$\frac{1}{2}$AD，由正方形边长为2，根据勾股定理可求出DE=$\sqrt{5}$，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD=CD=2，CE=1，
∴DE=$\sqrt{5}$，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{DE-EF}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{EF}{\sqrt{5}-EF}$=$\frac{1}{2}$，
解得EF=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．