Question

5．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E，延长AE交BC于点F，求△ABF的面积．
小明发现，过点C作AC的垂线，交AF的延长线子点G，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：$\frac{BF}{CF}$=2，△ABF的面积为$\frac{16}{3}$．
 
（2）【类比探究】如图2，将（1）中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足CD=2AD”，其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程．
（3）【拓展迁移】如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D为AC上一点，且满足CD=2AD，E为BD上一点，∠AEB=60°，延长AE交BC于F，请直接写出△ABF的面积．

Answer 1

分析 （1）过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，证明△ACG≌△BAD，得到CG=AD，证明△CFG∽△BFA，求出BF与CF的数量关系，得到△ABF的面积；
（2）过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H，作法与（1）类似；
（3）过点C作AB的平行线，交AF的延长线与点P，作AQ⊥BC于Q，作法与（1）类似．

解答 解：（1）如图1，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠CAG=∠ABD，
在△ACG和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAG=∠ABD}\\{AC=AB}\\{∠ACG=∠BAD}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BAD，
∴CG=AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}AB$，
∵BA∥CG，
∴△CFG∽△BFA，
∴$\frac{CG}{AB}$=$\frac{CF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，即BF=$\frac{2}{3}$BC，
∴△ABF的面积=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×4=$\frac{16}{3}$；
（2）如图2，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠CAG=∠ABD，
在△ACG和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAH=∠ABD}\\{AC=AB}\\{∠ACH=∠BAD}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△BAD，
∴CH=AD=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{3}$AB，
∵BA∥CH，
∴△CFH∽△BFA，
∴$\frac{CH}{AB}$=$\frac{CF}{FB}$=$\frac{1}{3}$，即BF=$\frac{3}{4}$BC，
∴△ABF的面积=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×4×4=6；
（3）如图3，过点C作AB的平行线，交AF的延长线与点P，作AQ⊥BC于Q，
∵AB=AC=4，∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AB=2，
由勾股定理得，BQ=2$\sqrt{3}$，则BC=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$，
∵∠AEB=60°，
∴∠AED=120°，
∵CP∥AB，
∴∠ADB=∠ACP，∠APC=∠AED=120°，
∴∠APC=∠BAD，
在△ACP和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠BAD}\\{∠ACP=∠ADB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BAD，
∴CP=AD=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{3}$AB，
∵BA∥CP，
∴△CFP∽△BFA，
∴$\frac{CP}{AB}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{3}$，即BF=$\frac{3}{4}$BC，
∴△ABF的面积=$\frac{3}{4}$×4$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用．