Question

1．已知AB是半径为4的⊙O中的一条弦，且AB=4，在⊙O上存在点C，使△ABC为等腰三角形，则此等腰三角形的底角的正切值等于2$+\sqrt{3}$、2$-\sqrt{3}$、$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据垂径定理和弦、弧、圆心角之间的关系得到四种符合条件的等腰三角形，根据等腰三角形的性质和圆周角定理以及正切的概念计算即可．

解答 解：作弦AB的垂直平分线交⊙O于C、F，连接CA、CB、FA、FB，
在⊙O上取$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，$\widehat{BE}$=$\widehat{AB}$，连接BD、AE，
则△ABC、△ABF、△ABD、△ABE是等腰三角形，
∵OA=OB=4，AB=4，
∴△AOB为等边三角形，
∴OH=2$\sqrt{3}$，
∴CH=4+2$\sqrt{3}$，FH=4-2$\sqrt{3}$，
∴tan∠CBA=$\frac{CH}{BH}$=2$+\sqrt{3}$，
tan∠FBA=$\frac{FH}{BH}$=2$-\sqrt{3}$，
∵∠D=∠E=$\frac{1}{2}∠$AOB=30°，
∴tanD=tanE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：2$+\sqrt{3}$、2$-\sqrt{3}$、$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理、圆周角定理的应用以及等腰三角形的性质的应用，掌握垂径定理和圆周角定理、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．