Question

6．已知：平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一动点C（a，b），过点C作CA⊥x轴于点A，CB⊥y轴于点B，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交AC于点E，交BC于点F，连接OE，OF，记S=S_△OEF-S_△ECF，若S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k，当2≤a≤4时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 如图，C（a，b），利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征分别表示出A（a，0），E（a，$\frac{k}{a}$），B（0，b），F（$\frac{k}{b}$，b），利用三角形面积公式得到S_△ECF=$\frac{1}{2}$（b-$\frac{k}{a}$）（a-$\frac{k}{b}$），S_△OEF=ab-k-S_△ECF，于是得到S=S_△OEF-S_△ECF=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$，接着利用S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k可解得ab=12，然后利用2≤a≤4得到2≤$\frac{12}{b}$≤4，然后解关于b的不等式组即可．

解答 解：如图，C（a，b），则A（a，0），E（a，$\frac{k}{a}$），B（0，b），F（$\frac{k}{b}$，b），
∵S_△ECF=$\frac{1}{2}$（b-$\frac{k}{a}$）（a-$\frac{k}{b}$），S_△OEF=ab-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-S_△ECF=ab-k-S_△ECF=
∴S=S_△OEF-S_△ECF=ab-k-2S_△ECF
=ab-k-ab+k+k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$
=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$，
而S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k，
∴-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$，
∴ab=12，
即a=$\frac{12}{b}$，
∵2≤a≤4，
∴2≤$\frac{12}{b}$≤4，
∴3≤b≤6．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式．