Question

10．如图，等边△ABC的边长为2，以BC边上的高AB₁为边作等边△AB₁C₁，B₁C₁交AC于点B₂，△AB₁B₂的面积记做S₁；再以AB₂为边作等边△AB₂C₂，B₂C₂交AC₁于点B₃，△AB₂B₃的面积记做S₂；…，以此类推，则S_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{n}$．．

Answer 1

分析 由AB₁为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B₁为BC的中点，求出BB₁的长，利用勾股定理求出AB₁的长，进而求出第一个等边三角形AB₁C₁的面积，同理求出第二个等边三角形AB₂C₂的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB_nC_n的面积．

解答 解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB₁⊥BC，
∴BB₁=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB₁=$\sqrt{3}$，
∴第一个等边三角形AB₁C₁的面积为：${S}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{3}）^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{1}$；
∵等边三角形AB₁C₁的边长为 $\sqrt{3}$，AB₂⊥B₁C₁，
∴B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB₁=$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：AB₂=$\frac{3}{2}$，
∴第二个等边三角形AB₂C₂的面积为${S}_{2}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{3}{2}）^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{2}$；
依此类推，第n个等边三角形AB_nC_n的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{n}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}×（\frac{3}{4}）^{n}$．

点评 此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．