综合与实践在数学活动课上.老师给出如下问题.让同学们展开探究活动:问题情境:如图(1).在△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC=a.点D为AB上一点(0＜AD＜$\frac{1}{2}$AB).将线段CD绕点C逆时针旋转90°.得到的对应线段为CE.过点E作EF∥AB.交BC于点F．请你根据上述条件.提出恰当的数学问题并解答．解决问题:下面是学习小组提� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．综合与实践
在数学活动课上，老师给出如下问题，让同学们展开探究活动：
问题情境：
如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，点D为AB上一点（0＜AD＜$\frac{1}{2}$AB），将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，过点E作EF∥AB，交BC于点F．请你根据上述条件，提出恰当的数学问题并解答．
解决问题：
下面是学习小组提出的三个问题，请你解答这些问题：
（1）“兴趣”小组提出的问题是：求证：AD=EF．
（2）“实践”小组提出的问题是：如图（2），若将△ACD沿AB的垂直平分线对折，得到△BCG，连接EG，则线段EG与EF有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）“奋进”小组在“实践”小组探究的基础上，提出了如下问题：延长EF与AC交于点H，连接HD，FG．求证：四边形DGFH是矩形．
提出问题：
（4）完成上述问题的探究后，老师让同学们结合图（3），提一个与四边形DGFH有关的问题．
“智慧”小组提出的问题是：当AD为何值时，四边形DGFH的面积最大？
请你参照智慧小组的做法，再提出一个与四边形DGFH有关的数学问题（提出问题即可，不要求进行解答，但所提问题必须有效）
你提出的问题是：当AD为何值时，四边形DGFH为正方形

分析（1）连接BE，证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．证出∠ABE=90°．由平行线的性质求出∠FEB=90°，得出∠EFB=∠EBF=45°，证出EF=BE，即可得出结论；
（2）连接BE．由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．得出BE=BG=EF，证出∠BGE=∠BEG=45°，由等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）连接BE．证出CH=CF．由SAS证明△HCD≌△FCG，得出DH=FG，∠CDH=∠CGF．证出∠HDA=∠FGB，证明四边形BEFG为正方形，得出∠FGB=90°．
因此∠HDG=∠HDA=90°，证出四边形DGFH为平行四边形，即可得出结论．
（4）由正方形的性质容易得出答案．

解答（1）证明：连接BE，如图1所示：
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．
∴∠ABE=90°．
∵EF∥AB，
∴∠FEB+∠ABE=180°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EFB=∠EBF=45°，
∴EF=BE，
∴AD=EF．
（2）解：EG=$\sqrt{2}$EF．理由如下：如图2所示，连接BE．
由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．
∵AD=BG，
∴BE=BG=EF，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴EG=$\sqrt{2}$BG，
∴EG=$\sqrt{2}$EF．
（3）证明：如图3所示，连接BE．
∵FH∥AB，
∴∠CHF=∠A=45°，∠CFH=∠B=45°，
∴∠CHF=∠CFH，
∴CH=CF．
∵△ACD与△BCG对称，点D的对应点为G，
∴CD=CG，∠HCD=∠FCG，
在△HCD和△FCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CG}&{\;}\\{∠HCD=∠FCG}&{\;}\\{CH=CF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△HCD≌△FCG（SAS），
∴DH=FG，∠CDH=∠CGF．
又∵∠CDA=∠CGB，
∴∠HDA=∠FGB．
由（1），（2）可知，BG=EF=BE，BG∥EF，∠EBG=90°，
∴四边形BEFG为正方形，
∴∠FGB=90°．
∴∠HDG=∠HDA=90°．
∴HD∥FG，
又∵HF∥DG，
∴四边形DGFH是平行四边形，
∴四边形DGFH为矩形．
（4）解：当AD为何值时，四边形DGFH为正方形（答案不唯一）；
故答案为：当AD为何值时，四边形DGFH为正方形．