Question

5．（1）发现
如图1，点p为线段BC上一点，∠B=∠C=90°，
填空：当∠APD=90°时，则△ABP∽△PCD；
（2）应用
填空：如图2，点E、F分别在函数$y=-\frac{4}{x}（x＜0）、y=\frac{1}{x}（x＞0）$的图象上，且OE⊥OF，则tan∠E=$\frac{1}{2}$；
（3）拓展．
如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点P为线段BC的中点，∠NPM=45°，PN交AC于点N，PM交AB于点M，连接MN，若AN=2，AC=6，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和为180°以及平角为180°，通过角的计算可得出∠APB=∠PDC，结合∠B=∠C，即可证出△ABP∽△PCD；
（2）由（1）的结论可得出△EOE′∽△OFF′，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出$\frac{OF}{OE}$的值，再根据正切的定义即可得出结论；
（3）同（1）可求出△CNP∽△BPM，根据相似三角形的性质可求出BM的长度，进而可得出AM的长度，在Rt△AMN中，利用勾股定理可求出MN的长．

解答 解：（1）∵∠APB+∠APD+∠DPC=180°，∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
又∵∠DPC+∠PDC+∠C=180°，∠C=90°，
∴∠APB=∠PDC．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD．
故答案为：△PCD．

（2）在图2中，过点E作EE′⊥x轴，垂足为E′，过点F作FF′⊥x轴，垂足为F′．
∵OE⊥OF，
∴△EOE′∽△OFF′，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△OFF′}}{{S}_{△EOE′}}}$．
∵点E、F分别在函数$y=-\frac{4}{x}（x＜0）、y=\frac{1}{x}（x＞0）$的图象上，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△OFF′}}{{S}_{△EOE′}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}×1}{\frac{1}{2}×|-4|}}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠E=$\frac{OF}{OE}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

（3）∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠CPN+∠CNP=180°-∠C=135°，∠BPM+∠BMP=180°-∠B=135°，
∴∠CPN+∠CNP=∠BPM+∠BMP．
∵∠NPM=45°，
∴∠CPN+∠BPM=180°-∠NPM=135°，
∴∠CNP=∠BPM．
又∵∠C=∠B，
∴△CNP∽△BPM，
∴$\frac{CN}{BP}$=$\frac{CP}{BM}$．
∵AN=2，AC=6，
∴BC=$\sqrt{2}$AC=6$\sqrt{2}$，CN=4．
∵点P为线段BC的中点，
∴CP=BP=3$\sqrt{2}$．
∴BM=$\frac{CP•BP}{CN}$=$\frac{9}{2}$，
∴AM=AB-BM=$\frac{3}{2}$．
在Rt△AMN中，AN=2，AM=$\frac{3}{2}$，∠A=90°，
∴MN=$\sqrt{A{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数k的几何意义、正切的定义以及解直角三角形，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠APB=∠PDC；（2）根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，找出$\frac{OF}{OE}$的值；（3）利用相似三角形的性质求出BM的长度．