Question

9．善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，A，B，D在同一直线上，且EF∥AD，∠BAC=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=12cm，求BD的长．

Answer 1

分析 过F作FH垂直于AB，得到∠FHB为直角，进而求出∠EFD的度数为30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长，再利用勾股定理求出DF的长，由EF与AD平行，得到内错角相等，确定出∠FDA为30度，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出FH的长，进而利用勾股定理求出DH的长，由DH-BH求出BD的长即可．

解答 解：过点F作FH⊥AB于点H，
∴∠FHB=90°，
∵∠EDF=90°，∠E=60°，
∴∠EFD=90°-60°=30°，
∴EF=2DE=24，
∴DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=12$\sqrt{3}$，
∵EF∥AD，
∴∠FDA=∠DFE=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$DF=6$\sqrt{3}$，
∴DH=$\sqrt{D{F}^{2}-F{H}^{2}}$=18，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠HFB=90°-45°=45°，
∴∠ABC=∠HFB，
∴BH=FH=6$\sqrt{3}$，
则BD=DH-BH=18-6$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．