Question

19．四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点E在AB的延长线上，作EF∥BD，交BC边于点F．
如图，设对角线AC，BD交于点O，F为BC的中点．
①若OF=1，则AE=3；
②当∠CDB=90°时，四边形OBEF是矩形．

Answer 1

分析 由四边形ABCD为平行四边形可得出点O为AC的中点，结合点F为BC的中点即可得出OF为△CAB的中位线，由此可得出OF∥AB，结合EF∥BD即可得出四边形OBEF为平行四边形．①根据平行四边形的性质以及三角形中位线的性质即可得出AB、BE的长度，进而即可得出AE的长度；②由四边形OBEF是矩形，即可得出∠BOF=90°，根据平行线的性质即可得出∠CDB的度数．

解答 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点O为AC的中点，
∵点F为BC的中点，
∴OF为△CAB的中位线，
∴OF∥AB，OF=$\frac{1}{2}$AB．
∵EF∥BD，
∴四边形OBEF为平行四边形．
①∵OF=1，
∴BE=OF=1，AB=2OF=2，
∴AE=AB+BE=3．
故答案为：3．
②∵四边形OBEF是矩形，
∴∠BOF=90°，
∵OF∥AB∥CD，
∴∠CDB=∠BOF=90°．
故答案为：90．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质与性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是：①找出四边形OBEF为平行四边形；②根据矩形的性质找出∠BOF=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用平行四边形的判定与性质是关键．