Question

20．一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$cm
• B． 1cm
• C． $\frac{3}{2}$cm
• D． 2cm

Answer 1

分析 设BE=y，AP=x，由△AEP∽△DPC，得$\frac{AP}{CD}$=$\frac{AE}{PD}$，构建二次函数即可解决问题．

解答 解：设BE=y，AP=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠AEP=90°，∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠CPD，
∴△AEP∽△DPC，
∴$\frac{AP}{CD}$=$\frac{AE}{PD}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{2-y}{3-x}$，
∴y=x²-3x+4=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{8}$．
∵a=1＞0，
∴x=$\frac{3}{2}$时，y有最小值，
故选C．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．