Question

4．如图，l₁∥l₂∥l₃，且l₁和l₂间的距离是5，l₂和l₃间的距离是7，若正方形有三个顶点分别在三条直线上，则此正方形的面积最小是74．

Answer 1

分析 当正方形的第4个顶点落在l₂与l₃之间时，正方形的边长最小，如图，四边形ABCD为正方形，作CE⊥l₂于E，AF⊥l₂于F，先证明△CBE≌△BAF得到•BE=AF=5，再利用勾股定理得到BC²=BE²+CE²=74，则•正方形ABCD的面积为74，于是可判断正方形的面积最小是74．

解答 解：当正方形的第4个顶点落在l₂与l₃之间时，正方形的边长最小，如图，四边形ABCD为正方形，作CE⊥l₂于E，AF⊥l₂于F，
则AF=5，CE=7，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABF+∠CBE=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠CBE=∠BAF，
在△CBE和△BAF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠BFA}\\{∠CBE=∠BAF}\\{CB=BA}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△BAF，
∴BE=AF=5，
在Rt△BCE中，BC²=BE²+CE²=5²+7²=74，
∴正方形ABCD的面积为74，
即正方形的面积最小是74．
故答案为74．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．解决本题的关键是画出几何图形和构建全等三角形．