Question

13．己知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位罝，其它条件保持不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先根据补角的定义求出∠BOC的度数，再由角平分线的性质得出∠COE的度数，根据∠DOE=∠COD-∠COE即可得出结论；
（2）同（1）可得出结论；
（3）先根据角平分线的性质得出∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC，再由∠DOE=∠COD-∠COE即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-70°=20°；

（2））∵∠AOC=α，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-90°+$\frac{1}{2}$α=$\frac{1}{2}$α；

（3）∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）=90°-$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠AOC）=90°-90°+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOC．

点评 本题考查的是角的计算，熟知角平分线的性质、补角及垂直的定义是解答此题的关键．