Question

3．已知将二次函数y=2x²+4x+m的图象，向左平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式中的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）写出二次函数y=2x²+4x+m的图象关于x轴对称的二次函数的解析式；
（3）已知二次函数y=2x²+4x+m的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为此抛物线上一动点（异于A、B、C），若S_△PAB=S_△ABC，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
（2）根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解．
（3）求出A、B、C坐标，设点P坐标（a.2a²+4a-6），根据题意列出方程解决问题．

解答 解；（1）y=2x²+4x+m的图象向左平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）²+4（x+1）+m=2x²+8x+6+m，
∵6+m=0，
∴m=-6．
（2）根据题意，所求的抛物线是-y=2x²+4x+m，化简得：y=-2x²-4x-m，
即二次函数y=2x²+4x+m的图象关于x轴对称的二次函数的解析式为y=-2x²-4x-m．
（3）∵抛物线解析式为y=2x²+4x-6，
∴抛物线与x轴交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，-6），
设点P（a，2a²+4a-6），
由题意得$\frac{1}{2}$×4×|2a²+4a-6|=$\frac{1}{2}$×4×6，
∴2a²+4a-6=±6，
2a²+4a=0或2a²+4a-12=0，
∴a=0或-2或-1±$\sqrt{7}$，
∴点P的坐标为（-2，-6）或（-1+$\sqrt{7}$，6）或（-1-$\sqrt{7}$，6）．

点评 本题考查抛物线与坐标轴是交点问题、抛物线的平移、对称问题等知识，解题的关键是记住“上加下减，左加右减”，关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，属于中考常考题型．