Question

6．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{13}{4}$$\sqrt{2}$-4
• B． 7$\sqrt{2}$-4
• C． 6-$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}-5}}{2}$

Answer 1

分析 根据AB是⊙O的直径，得到∠C=90°，根据角平分线的定义和三角形的内角和得到∠AEB=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CBA）=135°，连接EO，推出EO为Rt△ABC内切圆半径，根据三角形的面积得到EO=$\sqrt{2}$-1，根据勾股定理得到AE²=AO²+EO²=1²+（$\sqrt{2}$-1）²=4-2$\sqrt{2}$，然后根据扇形和三角形的面积即刻得到结论．

解答 解：∵⊙O的直径AB=2，
∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CBA）=135°，
连接EO，
∵∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∵OA=OB，
∴EO⊥AB，
∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）•EO=$\frac{1}{2}$AC•BC，∴EO=$\sqrt{2}$-1，
∴AE²=AO²+EO²=1²+（$\sqrt{2}$-1）²=4-2$\sqrt{2}$，
∴扇形EAB的面积=$\frac{135π（4-2\sqrt{2}）}{360}$=$\frac{9}{4}$（2-$\sqrt{2}$），△ABE的面积=$\frac{1}{2}$AB•EO=$\sqrt{2}$-1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积-△ABE的面积=$\frac{22-13\sqrt{2}}{4}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$⊙O的面积-弓形AB的面积=$\frac{3}{2}$-（$\frac{5}{2}$-$\frac{7}{4}$$\sqrt{2}$）=$\frac{13}{4}$$\sqrt{2}$-4，
故选A，

点评 本题考查了扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，角平分线的定义，知道EO为Rt△ABC内切圆半径是解题的关键．