Question

5．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．
（1）当D为边BC上一点，并且CD=AB，x=40，y=30时，求证：AB=AC．
（2）若CD=CA=AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）首先在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，易证得AD=AE，继而可得△ADB≌△AEC（SAS），则可证得结论；
（2）①由CD=CA，可表示出∠ADC的度数，又由三角形外角的性质，可得∠ADC=∠B+∠BAD，则可得方程：90-$\frac{1}{2}$x=x+y，继而求得答案；
②先确定出∠D=$\frac{1}{2}$x，最后根据三角形的内角和即可得出结论．
③同①②的方法即可得出结论．

解答 （1）证明：如图，在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，
则∠AEB=∠EAB=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∴∠AEB=∠ADE=70°，
∴AD=AE，
∴∠ADB=∠AEC=180°-70°=110°，
∵BD=BE-DE，CE=CD-DE，
∴BD=EC，
在△ADB和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠ADB=∠AEC}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC．
（2）解：①当点D在边BC上时，
∵∠ABC=x°，CA=AB，
∴∠C=∠ABC=x°，
∵CD=CA，
∴∠ADC=∠CAD=$\frac{180°-∠C}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$x°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴90-$\frac{1}{2}$x=x+y，
即：y=-$\frac{3}{2}$x+90（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）
②当点D在BC的延长线上时，
如图1，∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=x°，
∵AC=CD，
∴∠ACB=2∠D，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$x°，
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠D=180°，
∴x+y+$\frac{1}{2}$x=180，
即：y=-$\frac{3}{2}$x+180，（0＜x＜90）
③当点D在CB延长线上时，如图2，
∵∠BAD=y°，∠ABC=x°，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=x°-y°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=x°，
∵CD=AC，
∴∠CAD=∠D=x°-y°，
在△ACD中，∠D+∠C+∠CAD=180°，
∴x-y+x+x-y=180，
∴3x-2y=180，
∴y=$\frac{3}{2}$x-90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，解（1）的关键是作出辅助线判断出△ADB≌△AEC，解（2）的关键是分情况讨论，是一道中等难度的中考常考题．