Question

17．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，G是BF的中点．求证：
（1）AF=$\frac{1}{2}$FC；
（2）四边形AGDF是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）先根据中位线定理证明DG∥AC，再利用△AEF≌△DEG（AAS），得GD=AF，所以AF=$\frac{1}{2}$FC；
（2）根据（1）中的一组对边平行且相等得结论．

解答 证明：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵G是BF的中点，
∴DG是△BFC的中位线，
∴DG∥AC，DG=$\frac{1}{2}$FC，
∴∠GDE=∠EAF，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
在△AEF和△DEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠EAF}\\{∠GED=∠FEA}\\{ED=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEG（AAS），
∴GD=AF，
∴AF=$\frac{1}{2}$FC；
（2）由（1）得：GD∥AF，GD=AF，
∴四边形AGDF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理、三角形全等的性质和判定，熟练掌握和运用三角形的中位线定理是本题的关键．