Question

16．如图，已知A（m，3）是一次函数y=kx+b与反函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的交点．
（1）求m的值；
（2）若一次函数分别与x、y轴交于E、F两点，A为EF的中点，试求该一次函数的解析式；
（3）在y=$\frac{6}{x}$的图象上另取一点B，作BK⊥x轴于K，在（2）的条件下，在y轴上取一点C，使得FO=4CO．问：在y轴上是否存在点P，使得△PAC和△PBK的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出m的值，
（2）利用中点坐标即可求出k，b的值，进而得出直线EF的解析式；
（3）设出点P的坐标，表示出三角形PAC的面积，再求出三角形PBK的面积建立方程即可得出P的坐标．

解答 解：（1）∵点A（m，3）在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图形上，
∴3m=6，
∴m=2，

（2）由（1）知，A（2，3），
∵点A在一次函数y=kx+b的图象上，
∴2k+b=3，
∴b=3-2k，
∴一次函数的解析式为y=kx+3-2k，
令y=0，
∴x=$\frac{2k-3}{k}$，
∴E（$\frac{2k-3}{k}$，0），F（0，3-2k），
∵A（2，3）是EF的中点，
∴3-2k=6，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴b=6，
∴一次函数额解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+6；

（3）由（2）知，E（4，0），F（0，6），
∴OF=6，
∵FO=4OC=6，
∴OC=$\frac{3}{2}$，
∴C（0，$\frac{3}{2}$），
设P（0，t），
∴PC=|t-$\frac{3}{2}$|，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$PC•x_A=$\frac{1}{2}$×|t-$\frac{3}{2}$|×2=|t-$\frac{3}{2}$|，
设B（n，$\frac{6}{n}$），
∴OK=n，BK=$\frac{6}{n}$，
∴S_△PBK=$\frac{1}{2}$BK•OK=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{n}$×n=3，
∵△PAC和△PBK的面积相等，
∴|t-$\frac{3}{2}$|=3，
∴t=$\frac{9}{2}$或t=-$\frac{3}{2}$，
∴P（0，$\frac{9}{2}$）或（0，-$\frac{3}{2}$）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，点的中点坐标，三角形的面积公式，解（2）的关键是得出点E，F的坐标，解（3）的关键是求出三角形PBK的面积是3，是一道中等难度的题目．