Question

19．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
我们知道方程2x+3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得y=$\frac{12-2x}{3}$=4-$\frac{2}{3}$x，（x、y为正整数）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{12-x}{3}＞0}\end{array}\right.$ 则有0＜x＜6．又y=4-$\frac{2}{3}$x为正整数，则$\frac{2}{3}x$为正整数．
∴x为3的倍数，从而x=3，代入y=4-$\frac{2}{3}x$=2．
∴2x+3y=12的正整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$
问题：（1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解：
（2）若$\frac{6}{x-2}$为自然数，则满足条件的x值有C 个
A、2      B、3       C、4        D、5
（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

Answer 1

分析 （1）求方程2x+y=5的正整数解，可给定x一个正整数值，计算y的值，如果y的值也是正整数，那么就是原方程的一组正整数解．
（2）参照例题的解题思路进行解答；
（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支．则根据题意得：3m+5n=35，其中m、n均为自然数．解该二元一次方程即可．

解答 解：
（1）由2x+y=5，得y=5-2x（x、y为正整数）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{5-2x＞0}\end{array}\right.$，即0＜x＜$\frac{5}{2}$
∴当x=1时，y=3；
当x=2时，y=1．
即方程的正整数解是$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$．（只要写出其中的一组即可）

（2）同样，若$\frac{6}{x-2}$为自然数，
则有：0＜x-2≤6，即2＜x≤8．
当x=3时，$\frac{6}{x-2}$=6；
当x=4时，$\frac{6}{x-2}$=3；
当x=5时，$\frac{6}{x-2}$=2；
当x=8时，$\frac{6}{x-2}$=1．
即满足条件x的值有4个，
故选C．

（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支．
则根据题意得：3m+5n=35，其中m、n均为自然数．
于是有：n=$\frac{35-3m}{5}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{7-\frac{3}{5}m＞0}\end{array}\right.$，
所以0＜m＜$\frac{35}{3}$．
由于n=7-$\frac{3}{5}$m为正整数，则$\frac{3}{5}$m为正整数，可知m为5的倍数．
∴当m=5时，n=4；
当m=10时，n=1．
答：有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；
或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．

点评 本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数．