Question

13．若抛物线L：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点P在直线l上，则称该抛物线L与直线l具有“”一带一路关系，此时，抛物线L叫做直线l的“带线”，直线l叫做抛物线L的“路线”．
（1）求“带线”L：y=x²-2mx+m²+m-1（m是常数）的“路线”l的解析式；
（2）若某“带线”L：y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的顶点在二次函数y=x²+4x+1的图象上，它的“路线”l的解析式为y=2x+4．
①求此“带线”L的解析式；
②设“带线”L与“路线”l的另一个交点为Q，点R在PQ之间的“带线”L上，当点R到“路线”l的距离最大时，求点R的坐标．

Answer 1

分析 （1）先配方得到抛物线y=x²-2mx+m²+m-1的顶点坐标，则根据新定义得到“带线”L的顶点为（m，m-1），然后利用横纵坐标之间的关系可确定“路线”l的解析式；
（2）①根据新定义“带线”L：y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的顶点在“路线”l，则可设“带线”L：y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的顶点为（x，2x+4），再把（x，2x+4）代入y=x²+4x+1得2x+4=x²+4x+1，解方程求出x就看得到“带线”L：y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的顶点坐标，然后利用顶点式可得“带线”L的解析式；
②讨论：当“带线”L解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{13}{2}$时，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x+\frac{13}{2}}\end{array}\right.$得Q的坐标为（5，14），由于要使点R到线段PQ的距离最大，只要S_△RPQ最大，作PH∥y轴交PQ于H，设R（x，$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{13}{2}$），则H（x，2x+4），利用三角形面积公式，S_△RPQ=$\frac{1}{2}$（2x+4-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{13}{2}$）•（5-1），然后根据二次函数的性质求解；若“带线”L解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{5}{2}$时，利用同样的方法可确定点R的坐标．

解答 解：（1）∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴“带线”L的顶点为（m，m-1），
∴“路线”l的解析式为y=x-1；
（2）①设“带线”L：y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的顶点为（x，2x+4）．
把（x，2x+4）代入y=x²+4x+1得2x+4=x²+4x+1，解得x₁=1，x₂=-3．
∴“带线”L：y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的顶点为（1，6）或（-3，-2）．
∴“带线”L的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²+6或y=$\frac{1}{2}$（x+3）²-2，
即y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{13}{2}$或y=$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{5}{2}$；
②若“带线”L解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{13}{2}$时，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x+\frac{13}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=14}\end{array}\right.$，则带线”L与“路线”l的另一个交点Q的坐标为（5，14），
要使点R到线段PQ的距离最大，只要S_△RPQ最大，
作PH∥y轴交PQ于H，设R（x，$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{13}{2}$），则H（x，2x+4）
∴S_△RPQ=$\frac{1}{2}$（2x+4-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{13}{2}$）•（5-1）=-x²+6x+3=-（x-3）²+13．
∴当x=3时，S_△RPQ有最大值，此时点R的坐标为（3，8）；
若“带线”L解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{5}{2}$时，同理可得点R的坐标为（-1，0）．
∴点R的坐标为（3，8）或（-1，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质；也考查了阅读理解能力．