Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax²+$\frac{3}{4}x+c$经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．
（3）在（2）的前提下，过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线AB的解析式可求出点A、B的坐标，将A、B的坐标代入抛物线解析式即可得出关于a、c的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）过点E作EF⊥x轴于点F交直线AB与点M，设点E的坐标为（m，-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{4}$m+3），点M的坐标为（m，-$\frac{3}{4}$m+3），根据S_△ABE=S_△BEM+S_△AEM即可得出S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）根据（2）的结论可求出点M的坐标，设点P的坐标为（n，-$\frac{3}{8}{n}^{2}+\frac{3}{4}$n+3），Q点的坐标为（1，d），以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：①CM为对角线，根据中点坐标公式即可得出n的一元一次方程，解方程即可得出P点的坐标；②CM为一条边，根据平行四边形的性质可依据PQ的横坐标之差等于CM的横坐标之差找出关于n的一元一次方程，解方程即可得出n值，由n值即可解决问题．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
即B点的坐标为（0，3），
当y=0时，有-$\frac{3}{4}$x+3=0，
解得x=4，即A点坐标为（4，0）．
将A、B点坐标代入抛物线的解析式，
得$\left\{\begin{array}{l}{16a+3+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线所对应的函数表达式为y=-$\frac{3}{8}{x}^{2}+\frac{3}{4}$x+3．
（2）过点E作EF⊥x轴于点F交直线AB与点M，如图1所示．

∵点E是直线AB上方抛物线上的点，
∴设点E的坐标为（m，-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{4}$m+3），点M的坐标为（m，-$\frac{3}{4}$m+3），
∴EM=-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{4}$m+3-（-$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{2}$m，
∴S_△ABE=S_△BEM+S_△AEM=$\frac{1}{2}$ME•OA=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{2}$m）×4=-$\frac{3}{4}{m}^{2}$+3m=-$\frac{3}{4}$（m-2）²+3，
∴当m=2时，△ABE面积最大，且最大值为3，此时点E的坐标为（2，3）．
（3）抛物线的对称轴为x=-$\frac{\frac{3}{4}}{2×（-\frac{3}{8}）}$=1．
设点P的坐标为（n，-$\frac{3}{8}{n}^{2}+\frac{3}{4}$n+3），Q点的坐标为（1，d）．
∵点E的坐标为（2，3），
∴直线EM的解析式为x=2，
∴点M的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）．
∵令y=0，则有-$\frac{3}{8}{x}^{2}+\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-2，或x=4，
∴点C的坐标为（-2，0），
当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：
①如图2所示，线段CM为对角线，且CM的中点为点N．

∵点C（-2，0），点M（2，$\frac{3}{2}$），
∴点N的坐标为（0，$\frac{3}{4}$）．
又∵点N为线段PQ的中点，
∴有$\frac{n+1}{2}$=0，解得n=-1，
此时P点的坐标为（-1，$\frac{15}{8}$）；
②线段CM为一条边时，PQ的横坐标之差等于CM的横坐标之差，
即|1-n|=|2-（-2）|，
解得：n=-3或n=5，
此时点P的坐标为（-3，-$\frac{21}{8}$）或（5，-$\frac{21}{8}$）．
综上可知：点P的坐标为（-3，-$\frac{21}{8}$），（5，-$\frac{21}{8}$）和（-1，$\frac{15}{8}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、中点坐标公式、平行四边形的性质以及解一元一次方程，解题的关键：（1）待定系数法求函数解析式；（2）利用三角形的面积公式找出S关于m的函数关系式；（3）分两种情况考虑．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）借助了二次函数的性质来解决最值问题，有点难度；（3）巧妙利用平行四边形的性质，找出关于n的一次方程，此问难度不小，易失分．