Question

2．根据条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过（-1，-22），（0，-8），（2，8）三点；
（2）抛物线过（-1，0），（3，0），（1，-5）三点；
（3）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，-2）；
（4）二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0），且最大值是3．

Answer 1

分析 （1）先设出抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，再将点（-1，-22），（0，-8），（2，8）代入解析式中，即可求得抛物线的解析式；
（2）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把（1，-5）代入求出a的值即可．
（3）根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），则可设交点式y=ax（x-8），然后把顶点坐标代入求出a即可．
（4）根据题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），再由最大值为3求出a的值，即可确定出抛物线解析式．

解答 解：（1）设出抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将点（-1，-22），（0，-8），（2，8）代入解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-22}\\{c=-8}\\{4a+2b+c=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=12}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=-2x²+12x-8；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，-5）代入得-4a=-5，解得a=$\frac{5}{4}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{5}{4}$（x+1）（x-3），即抛物线的解析式为y=$\frac{5}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x-$\frac{15}{4}$；
（3）根据题意得抛物线的对称轴为直线x=3，
而抛物线在x轴上截得的线段长为4，
所以抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-5），
把（3，-2）代入得a•2•（-2）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-5），即y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$．
（4）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
由最大值为3，得到-4a=3，即a=-$\frac{3}{4}$，
则抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．本题的关键是利用对称性确定抛物线与x轴的交点坐标．