Question

15．如图，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心、PB为半径的弧交BC的延长线于点F，连接PF、PD、PB，若∠ABC=60°，则∠DPF的度数为60°．

Answer 1

分析 先由菱形的性质得出AB=AD，∠BAC=∠DAC，再由SAS证明△ABP≌△ADP，得出PB=PD，又PB=PF，则PF=PD，所以P为圆心，PB为半径作圆P，则点B、F、D都在圆P上，连接BD，则∠DPF=2∠DBF=∠ABC，问题得解．

解答 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．
在△ABP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PF，
∴PF=PD，
∴以P为圆心，PB为半径作圆P，则点B、F、D都在圆P上，
连接BD，
由圆周角定理，可得∠DPF=2∠DBF，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=2∠DBF，
∴∠DPF=∠ABC=60°，
故答案为：60°．

点评 此题考查了菱形的性质与判定、轴对称性与中心对称性．此题难度适中，正确添加辅助线是解题的关键．