Question

3．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E．
（1）求证：点E是BC的中点；
（2）若AB=4，
①当BC=4时，四边形ODCE是平行四边形；
②当BC=2时，四边形ODCE的面积为$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由切线的性质得到ED=EB，再判断出∠C=∠CDE，得出ED=EC即可；
（2）①得出OD⊥AB，得到点D是AC中点，即OD是三角形ABC的中位线，求出BC，
②得出BE=1，先求出三角形ODE的面积，再利用切线的性质求出EF，进而用勾股定理求出BD，即可得出三角形BDE的面积，由三角形的中线得出三角形CDE的面积，即可．

解答 解：（1）连BD，如图，

∵AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EB，
∴∠EBD=∠EDB，
而∠C=90°-∠EBD，∠CDE=90°-∠EDB，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EB=EC，
即E为BC的中点，
（2）①如图，连接OD，

∵四边形ODCE是平行四边形；
∴OD=CE，OD∥BC，
由（1）知，BE=CE，
∴OD=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴BC=2BE=4，
故答案为4，
②如图3，

由（1）知，DE=BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
在△OBE和△ODE中$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{BE=DE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△ODE，
∴S_△ODE=S_△OBE=$\frac{1}{2}$BE×OB=$\frac{1}{2}$×1×2=1，
在Rt△OBE中，BE=1，OB=2，
∴OE=$\sqrt{5}$，
根据射影定理，BE²=EF×OE，
∴EF=$\frac{B{E}^{2}}{OE}=\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△BEF中，BE=1，
∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=2BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD×EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∵DE是△BCD的中线，
∴S_△CDE=S_△BDE=$\frac{2}{5}$，
∴S_{四边形ODCE的面积}=S_△ODE+S_△CDE=1+$\frac{2}{5}$=$\frac{7}{5}$．
故答案为：$\frac{7}{5}$．

点评 此题是切线的性质，主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，射影定理，解本题的关键是求出EF．