Question

9．如图，在?ABCD中，E，F分别是CB，AD延长线上的点，连接AE，CF，若四边形AECF是平行四边形，且对角线EF分别交?ABCD的两边AB，CD于点M，N，求证：EM=FN．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB∥CD，∠ADC=∠ABC，于是得到∠FDC=∠EBA，∠CNM=∠AMN，得到∠DNF=∠BME，由于四边形AECF是平行四边形，于是得到AF=CE，得到CF=BE，推出△BME≌△FDN，于是得到结论．

解答 证明：在?ABCD中，
∵AD=BC，AB∥CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠FDC=∠EBA，∠CNM=∠AMN，
∵∠DNF=∠CNM，∠BME=∠AMN，
∴∠DNF=∠BME，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴DF=BE，
在△BME与△FDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBE=∠FDN}\\{∠BME=∠FND}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△FDN，
∴EM=FN，

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．