Question

6．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就能得到雪花曲线．

问题：
（1）从图形的对称性观察，图4是中心对称图形又是轴对称图形（轴对称或中心对称图形）
（2）图2的周长为4；
（3）试猜想第n次分形后所得图形的周长为3×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）根据图形变化规律，图4仍然关于原三角形的对称轴成轴对称，关于对称中心成中心对称；
（2）分形后，三角形的边长增加$\frac{1}{3}$，变为原来的$\frac{4}{3}$，再乘以3就是周长；
（3）每一次分形后，边长都变为原来的$\frac{4}{3}$，第n次分形后边长就变为原来的（$\frac{4}{3}$）ⁿ倍，再乘以3就是周长．

解答 解：（1）图4是中心对称图形又是轴对称图形．
（2）根据题意，边长为$\frac{1}{3}$×4=$\frac{4}{3}$，
周长为$\frac{4}{3}$×3=4；
（3）n次分形，边长变为原来的（$\frac{4}{3}$）ⁿ倍，
周长为3×（$\frac{4}{3}$）ⁿ×1=3×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．
故答案为：中心对称图形又是轴对称图形，4，3×（$\frac{4}{3}$）ⁿ．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．