Question

17．如图，点A、B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a （a＞0）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积为2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若a=5，设直线AB的解析式为y₁=mx+b，当x满足什么条件，y＜y₁？
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数k的几何意义得到S_△AOC=$\frac{1}{2}$|k|=2，即可得到k=4，于是得到反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$；
（2）当a=5时，A（5，$\frac{4}{5}$），B（10，$\frac{2}{5}$），然后观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征得A（a，$\frac{4}{a}$），B（2a，$\frac{2}{a}$），由于S_{四边形AODB}=S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD，根据反比例函数k的几何意义得S_△AOC=S_△BOD，则S_梯形ACDB=S_△AOB，然后根据梯形公式计算即可．

解答 解：（1）∵AC⊥x轴，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$|k|，
即$\frac{1}{2}$|k|=2，
∵k＞0，
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$；
（2）当a=5时，A（5，$\frac{4}{5}$），B（10，$\frac{2}{5}$），
故当5＜x＜10时，y＜y₁；
（3）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，如图，A（a，$\frac{4}{a}$），B（2a，$\frac{2}{a}$），
∵S_{四边形AODB}=S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD，
S_△AOC=S_△BOD，
∴S_梯形ACDB=S_△AOB，
∵S_梯形ACDB=$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{a}$+$\frac{4}{a}$）•（2a-a）=3，
∴S_△AOB=3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．