Question

16．乘法公式的探究及应用．
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：（m-n）²
方法2：（m+n）²-4mn
（2）观察图2请你写出下列三个代数式：（a+b）²，（a-b）²，ab之间的等量关系．
（a-b）²=（a+b）²-4ab；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a-b=5，ab=-6，求：a²+b²=13
②（a+b）²=49
②已知$x+\frac{1}{x}=3，则{x^4}+\frac{1}{x^4}$的值．

Answer 1

分析 （1）方法一、求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；
方法二、根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案；
（2）根据（1）阴影部分的面积相等，即可得出等式；
（3）①把a-b=5两边平方，利用完全平分公式，即可解答；
②根据（a+b）²=（a-b）²+4ab，即可解答；
③利用完全平分公式，即可解答．

解答 解：（1）阴影部分是正方形，正方形的边长是m-n，即阴影部分的面积是（m-n）²，
又∵阴影部分的面积S=（m+n）²-4mn，
故答案为：（m-n）²，（m+n）²-4mn．
（2）（a-b）²=（a+b）²-4ab，
故答案为：（a-b）²=（a+b）²-4ab．
（3）①∵a-b=5，ab=-6，
∴（a-b）²=5²
∴a²-2ab+b²=25，
a²+b²=25+2ab=25-12=13，
故答案为：13．
②（a+b）²=（a-b）²+4ab=5²-4×（-6）=49．
故答案为：49．
③${x}^{4}+\frac{1}{{x}^{4}}$
=$（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）^{2}-2$
=$[（x+\frac{1}{x}）^{2}-2]^{2}-2$
=（3²-2）²-2
=47．

点评 本题主要考查完全平分公式，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键．