Question

2．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=8m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度？
（结果精确到个位，参考数据：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{6}$=2.4）．

Answer 1

分析 （1）延长BA交EF于点G．根据三角形内角和定理求出∠CAE的度数；
（2）过点A作AE⊥CD，根据余弦和正弦的概念分别求出DH和AH的长，根据等腰直角三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）延长BA交EF于点G．
在Rt△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°，
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=8，
cos∠ADC=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=4，
sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$，
∴$AH=4\sqrt{3}$．
在Rt△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴$CH=AH=4\sqrt{3}$，$AC=4\sqrt{6}$．
∴$AB=AC+CD=4\sqrt{6}+4\sqrt{3}+4≈20$（米）．
答：这棵大树折断前高约20米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确标注坡角、倾斜角、灵活运用锐角三角函数的概念是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．