Question

7．如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：△OEF∽△OBC；
（2）求证：△DEF∽△ABC．

Answer 1

分析 （1）根据平行线分线段成比例定理，可以得到$\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}$，利用两边成比例夹角相等即可证明．
（2）用三边成比例两个三角形相似证明即可．

解答 证明：（1）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OA}$，$\frac{OF}{OC}=\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}$，
∵∠EOF=∠BOC，
∴△OEF∽△OBC．
（2）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{OD}{OA}=\frac{DF}{AC}=\frac{OE}{OB}$，
∵△OEF∽△OBC，
∴$\frac{OE}{OB}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}$，
∴△DEF∽△ABC．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质，灵活运用三角形相似的判定方法是解题的关键．