Question

16．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=7.5，点E是AD上一点，把△ABE沿BE翻折至△FBE，EF与DC相交于点G且DG=FG，再把△FBE绕点E顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜90°）后得到△F′EB′，EF′的延长线交BF于点M，EB′交AB于点N，当ME=MB时，AN的长度是$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 如图先证明DH=EF=AE，设AE=EF=DH=x，在RT△BCH中利用勾股定理求出x，再利用△EAN∽△BAE得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AN}{AE}$即可解决问题．

解答 解：设AE=EF=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10，AD=BC=7.5，∠A=∠D=∠C=90°，
在△DGE和△FGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠F=90°}\\{∠DGE=∠FGH}\\{DG=GF}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△FGH，
∴EG=GH，DE=FH，
∴DH=EF=x，DE=FH=7.5-x，BH=10-FH=2.5+x，CH=10-x
在RT△BCH中，∵BH²=CH²+BC²，
∴（2.5+x）²=（10-x）²+7.5²，
∴x=6，
∴AE=6，
∵EM=MB，
∴∠MEB=∠MBE=∠EBA=∠AEN，∵∠EAN=∠EAB=90°，
∴△EAN∽△BAE，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AN}{AE}$，
∴$\frac{6}{10}$=$\frac{AN}{6}$，
∴AN=$\frac{18}{5}$．
故答案为$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查翻折变换、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用方程解决问题，属于中考常考题型．