Question

1．如图，斜坡AB长130米，坡度i=1：2.4，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．
（1）若修建的斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长．（结果保留根号）．
（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为26.5°，他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向维续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53°，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33°）

Answer 1

分析 （1）如图延长DE交BC于F，根据坡度的定义设BC=5k，AC=12k，利用勾股定理求出BC、AC，利用三角形中位线定理求出DF，在RT△BEF中求出EF即可解决问题．
（2）延长ED交MQ于H，则四边形CFHQ是矩形，在RT△DHM中求出HM，在RT△PNQ中求出NQ即可解决问题．

解答 解：（1）如图延长DE交BC于F．
∵i=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2.4}$=$\frac{5}{12}$，
设BC=5k，AC=12k．
在RT△ABC中，∵∠C=90°，AB=130，
∴（5k）²+（12K）²=130²，
∴k=10（负根以及舍弃）．
∴BC=50米，AC=120米．
∵BD=DA，DF∥AC，
∴BF=FC=25米，DF=$\frac{1}{2}$AC=60米，
在RT△BEF中，∵∠BFE=90°，∠BEF=30°，
∴BE=2BF=50，EF=$\sqrt{3}$FB=25$\sqrt{3}$米，
∴DE=DF-EF=（60-25$\sqrt{3}$）米．
（2）延长ED交MQ于H，则四边形CFHQ是矩形，CF=HQ=25米，FH=CQ=160米
在RT△DHM中，∵∠DHM=90°，DH=FH-DF=CQ-DF=160-60=100，
∴MH=DH•tan26.5°≈50，MQ=HM+HQ=75，
在RT△PNQ中，∵∠PQN=90°，PQ=30，
∴NQ=PQ•tan53°≈40，
∴MN=MQ-NQ=75-40=35米．

点评 本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．