Question

7．小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．
（1）如图①，已知旗杆PQ高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A，B之间的距离；
（2）如图②，在（1）的条件下，在A处测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形在直角三角形△BPQ中求出AQ的长度，然后求出AB=BQ+AQ；
（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，求出AE的长度，然后在△CAE中求出AC的长度；

解答 解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，
∴∠BPQ=90°-30°=60°，
则BQ=tan60°×PQ=10$\sqrt{3}$，
又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，
则AQ=tan45°×PQ=10，
即AB=10$\sqrt{3}$+10（米）；

（2）过A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=10$\sqrt{3}$+10，
∴AE=sin30°×AB=$\frac{1}{2}$（10$\sqrt{3}$+10）=5$\sqrt{3}$+5（米）．
∵∠CAD=75°，∠B=30°，
∴∠C=45°，
在Rt△CAE中，sin45°=$\frac{AE}{AC}$，
∴AC=$\frac{AE}{sin45°}$=$\frac{5\sqrt{3}+5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=5$\sqrt{6}$+5$\sqrt{2}$（米）．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是结合图形构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．