Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\sqrt{3}$x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（-1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 在RT△AOB中，求出AO的长，根据旋转的性质可得AO=CD=4、OB=BD、△OBD是等边三角形，进而可得RT△COE中∠COE=60°、CO=2，由三角函数可得OE、CE．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，

∵OB=2，AB⊥x轴，点A在直线y=$\sqrt{3}$x上，
∴AB=2$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=4，
∴RT△ABO中，tan∠AOB=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOB=60°，
又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，
∴∠D=∠AOB=∠OBD=60°，AO=CD=4，
∴△OBD是等边三角形，
∴DO=OB=2，∠DOB=∠COE=60°，
∴CO=CD-DO=2，
在RT△COE中，OE=CO•cos∠COE=2×$\frac{1}{2}$=1，
CE=CO•sin∠COE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为（-1，$\sqrt{3}$），
故答案为：（-1，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查在旋转的情况下点的坐标变化，熟知旋转过程中图形全等即对应边相等、对应角相等、旋转角都相等的应用是解题的切入点也是关键．