题目内容
2．如图，在平面直角坐标系中，半径为$\sqrt{5}$的⊙O与x正半轴交于点C，与y轴交于点D、E，直线y=-x+b（b为常数）交坐标轴于A、B两点．（1）如图1，若直线AB与$\widehat{CD}$有两个交点F、G，求∠CFE的度数，并直接写出b的取值范围；
（2）如图2，若b=4，点P为直线AB上移动，过P点作⊙O的两条切线，切点分别M，N，若∠MPN=90°，求点P的坐标；
（3）点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别M、N，若存在点P，使得∠MPN=60°，求b的取值范围．
分析 （1）根据圆周角定理，可得∠CFE的度数，根据相切的性质，可得相交时b的最大值、最小值；
（2）根据直线上的点满足函数解析式，可得P点坐标，根据正方形的判定与性质，可得OP、CN，PN的关系，根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据切线的性质，可得∠OPN的度数，根据直角三角形的性质，可得OP的长，根据勾股定理，可得关于m的一元二次方程，根据根的判别式，可得答案．
解答 解：（1）由∠CFE所对的弧是$\widehat{CD}$，
$\widehat{CD}$所对的圆心角是∠COE=90°，
∠CFE=$\frac{1}{2}$∠COE=45°；
当直线与圆相切时，直线与⊙O只有一个交点，
b=$\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$，
若直线AB与$\widehat{CD}$有两个交点F、G，b的取值范围-$\sqrt{10}$＜b＜$\sqrt{10}$；
（2）如图1：
，
AB的解析式为y=-x+4，由P在直线AB上，设P点坐标为（m，-m+4），
由∠MPN=90°，得四边形OMPN是正方形，OP2=ON2+PN2=10，
即m2+（-m+4）2=10，解得m=1或m=3，
当m=1时，-m+4=3即P（1，3），当m=3时，-m+4=1，即P（3，1）；
综上所述：点P的坐标（1，3），（3，1）；
（3）如图2：
，
由P在直线AB上，设P点坐标为（m，-m+b），
连接OP，由∠MPN=60°，得∠OPN=30．
由直角三角形30°的角所对的直角边是斜边的一半，得OP=2ON=2$\sqrt{5}$，
由勾股定理得m2+（-m+b）2=（2$\sqrt{5}$）2，
化简，得2m2-2mb+b2-20=0．
△=（-2b）2-4×2×（b2-20）≥0，
解得-2$\sqrt{10}$≤b≤2$\sqrt{10}$．
故b的取值范围-2$\sqrt{10}$≤b≤2．
点评 本题考查了圆的综合题，利用圆周角定理是解题关键；利用正方的性质得出关于m的方程是解题关键；利用直角三角形的性质得出关于m的一元二次方程是解题关键，又利用了根的判别式．
如图所示，AB=CF=15cm，等腰Rt△ABC以3m/s的速度沿直线向正方形GDEF移动，直到AB与DE重合时才停止（开始C与G重合），设x s时，等腰Rt△ABC与正方形GDEF重叠部分的面积为y m2．
如图，△ABC中，∠B=∠ACB，点D在AC的延长线上，点E在AB上，且BE=CD，DE交BC于G，EF⊥BC于F，求证：BC=2FG．
如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．