Question

7．如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．
（1）当AD：DB=4：3时，求DE长；
（2）当△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE长；
（2）由△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，设AE+AD=a，CE+DB=b，可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=7}\end{array}\right.$，继而求得a的值，即AE+AD=9①，又由△ADE∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{5}$②，继而求得AE的长，进而求得答案．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AD：DB=4：3，
∴AD：AB=4：7，
∵BC=7，
∴DE=4；

（2）∵△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，
∴AD+AE+ED=BC+EC+DE+DB，即AE+AD=BC+CE+DB，
设AE+AD=a，CE+DB=b，则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=11}\\{a-b=7}\end{array}\right.$，
解得：a=9，
即AE+AD=9①，
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{5}$②，
由①②，得到AE=$\frac{54}{11}$，
∵$\frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴DE=$\frac{63}{11}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．