Question

17．如图，△ABC中，∠B=∠ACB，点D在AC的延长线上，点E在AB上，且BE=CD，DE交BC于G，EF⊥BC于F，求证：BC=2FG．

Answer 1

分析 作ED∥AC交BC于D，根据平行线的性质得到∠BDE=∠ACB，∠GED=∠F，∠EDG=∠FCG，由等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，等量代换得到∠B=∠BDE，于是得到BE=ED，推出△GED≌△CFG，根据全等三角形的性质得到GH=GC，根据等腰三角形的性质得到BF=FH，等量代换即可得到结论．

解答 解：作EH∥AC交BC于H，
∴∠BHE=∠ACB，∠GEH=∠D，∠EHG=∠DCG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠BHE，
∴BE=EH．
∵CD=BE，
∴CD=HE．
在△GEH和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEH=∠D}\\{HE=CD}\\{∠EHG=∠DCG}\end{array}\right.$，
∴△GEH≌△CDG（ASA），
∴GH=GC，
∵BE=EH，EF⊥BH，
∴BF=FH，
∴GH+FH=CG+BF=FG，
∴BC=2FG．

点评 本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定和性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．