Question

7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．
求证：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ABC-∠C）．

Answer 1

分析 先根据外角性质得：∠ABC=∠D+∠DAB，则∠DAB=∠ABC-∠D=∠ABC-90°，再表示出∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，由三角形的内角和定理可得：∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠C，最后利用角的和：∠DAE=∠DAB+∠BAE，代入可得结论．

解答 证明：∵AD⊥BC，
∴∠D=90°，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠DAB=∠ABC-∠D=∠ABC-90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠C，
∴∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠C，
∵∠DAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠DAE=∠ABC-90°+90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠C，
即：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ABC-∠C）．

点评 本题考查了三角形的内角和、外角性质和角平分线的性质，本题有难度，运用几个角和等式的互换，这就需要熟练掌握内角和定理及三角形的外角性质．