Question

10．如图，已知：△ABC的顶点在⊙O上，高AD、BF相交于点H，AD的延长线于⊙O交于点E．
（1）求证：DH=DE；
（2）若∠EAC=30°，求证：⊙O的半径R=EC．

Answer 1

分析 （1）连结CE，如图，利用等角的余角相得到∠1=∠3，再根据圆周角定理得到∠2=∠3，则∠1=∠2，加上CD⊥HE，则可判断△CEH为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得HD=DE；
（2）连接OE，OC，根据圆周角定理和圆的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连结CE，连接CH并延长交AB于G，如图，
∵AD和BF为△ABC的高，
∴CG⊥AB，
∴∠1+∠B=90°，∠3+∠B=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
而CD⊥HE，
∴△CEH为等腰三角形，
∴HD=DE；

（2）解：连接OE，OC，
∵∠EAC=30°，
∴∠COE=60°，
∵OC=OE，
∴△OCE是等边三角形，
∴⊙O的半径R=EC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．