Question

19．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D是斜边BC上一点，连接AD，将AD绕点A顺时针旋转90°到AE处，过E作EF∥BC交AB于F，连接DE．CF，请判断四边形CDEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 连结BE，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC，再根据旋转的性质得AE=AD，∠EAD=90°，则利用等角的余角相等得到∠EAB=∠DAC，于是根据旋转的定义，把△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB，则根据旋转的性质得BE=DC，∠ABE=∠ACD=45°，再利用EF∥BC得到∠EFB=∠ABC=45°，于是可判断△BEF为等腰直角三角形，则EF=EB，DE＞BE，所以EF=CD，然后根据平行四边形的判定方法即可判断四边形CDEF为平行四边形．

解答 解：四边形CDEF为平行四边形．理由如下：
连结BE，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC，
∵AD绕点A顺时针旋转90°到AE处，
∴AE=AD，∠EAD=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB，
∴BE=DC，∠ABE=∠ACD=45°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠ABC=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴EF=EB，DE＞BE，
∴EF=CD，
而EF∥CD，
∴四边形CDEF为平行四边形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和平行四边形的判定．