Question

如图，边长为2的等边三角形ABC内接于⊙O，将△ABC绕圆心O沿顺时针方向旋转得到△A′B′C′，A′C′分别与AB、AC交于E、D两点，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当△A′B′C′与△ABC第一次完全重合时，α=

 

°．
（2）当α=60°时，（如图1），则该图形

 

．
A．是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
（3）如图2，当0°＜α＜120°时，△ADE的周长是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化，请直接写出它的周长（不需要证明）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据等边三角形的中心角为120°求解；
（2）当α=60°时，点A、A′、B、B′、C、C′为⊙O的6等份点，所有的三角形都是等边三角形，则可利用正六边形的性质得到所有该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）连接OC、OC′、OA、OA′、AA′、AC′，如图2，先根据旋转的性质得∠COC′=∠AOA′=α，AB=A′C′=2，根据圆心角、弧、弦的关系得到

AA′

=

CC′

，
则根据圆周角定理得∠A′C′A=∠CAC′，所有EC′=EA，再利用AB=A′C′得到

AB

=

A′C′

，则

BA′

=

AC′

，所有∠A′AB=∠AA′C′，则DA=DA′，于是得到
△ADE的周长=AD+DE+AE=DA′+DE+EC′=A′C′=2．

解答：解：（1）连接OC、OA，如图1，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴当△A′B′C′与△ABC第一次完全重合时，α=120°；
故答案为120；
（2）当α=60°时，点A、A′、B、B′、C、C′为⊙O的6等份点，所有的三角形都是等边三角形，
所有该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选C；
（3）△ADE的周长为2．
连接OC、OC′、OA、OA′、AA′、AC′，如图2，
∵等边三角形△ABC绕圆心O沿顺时针方向旋转α得到△A′B′C′，
∴∠COC′=∠AOA′=α，AB=A′C′=2，
∴

AA′

=

CC′

，
∴∠A′C′A=∠CAC′，
∴EC′=EA，
∵AB=A′C′，
∴

AB

=

A′C′

，
∴

AB

-

AA′

=

A′C′

-

AA′

，即

BA′

=

AC′

，
∴∠A′AB=∠AA′C′，
∴DA=DA′，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=DA′+DE+EC′=A′C′=2．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理定理、等边三角形的性质和旋转的性质；会运用等腰三角形的性质解决线段相等的问题．