题目内容

问题：如图1，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O1和半圆形O2，其中O1、O2分别是AD、BC上的点，半圆O1分别与AB、BD 相切，半圆O2分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．
（1）请解决该问题；
（2）①下面方框中是小明简要的解答过程：
解：作O1E⊥BC，垂足为E，连接O1O2（如图2），设半圆O1的半径为xm，则半圆O2的半径也为xm．
在Rt△O1EO2中，O1E2+O2E2=O1O22
即O1E2+（BC-BE-O2C）2=O1O22
所以a2+（b-2x）2=（2x）2
解得x=
a2+b2
4b
．
所以最终拼接成的圆形桌面的半径为
a2+b2
4b
m．
老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．
②要使①中小明解得的答案是正确的，a、b需要满足什么数量关系？
考点：圆的综合题
专题：综合题
分析：（1）设半圆O1与BD相切于点H，连接O1H，设半圆O1的半径为xm，易证△O1HD∽△BAD，只需利用相似三角形的性质就可得到关于x的方程，就可求出半圆O1的半径．
（2）①小明观察图形，误以为两个半圆一定相切，而导致解题错误；②要使①中小明解得的答案是正确的，只需小明的答案与所求的正确答案相等，然后化简，就可得到a、b之间的数量关系．
解答：解：（1）设半圆O1与BD相切于点H，连接O1H，如图，
则有O1H⊥BD，即∠O1HD=90°．
∵四边形ABCD是矩形，AB=am，BC=bm，
∴∠BAD=90°，AD=BC=bm，
∴BD=
AB2+AD2
=
a2+b2
（m）．
设半圆O1的半径为xm，
则有O1D=（b-x）m．
∵∠O1DH=∠BDA，∠O1HD=∠BAD=90°，
∴△O1HD∽△BAD，
∴
O1H
AB
=
O1D
BD
，
∴O1H•BD=O1D•AB，
∴x•
a2+b2
=（b-x）•a，
解得：x=
a
a2+b2
-a2
b
．
∴最终拼接成的圆形桌面的半径长为
a
a2+b2
-a2
b
m．

（2）①小明错误的原因是：小明误以为两个半圆一定相切．
②要使①中小明解得的答案是正确的，应满足
a2+b2
4b
=
a
a2+b2
-a2
b
，
即a2+b2=4（a
a2+b2
-a2），
整理得a2+b2-4a
a2+b2
+4a2=0，
∴（
a2+b2
-2a）2=0，
∴
a2+b2
-2a=0，
∴
a2+b2
=2a，
∴a2+b2=4a2，
∴b2=3a2．
∵a＞0，b＞0，
∴b=
3
a．
∴要使①中小明解得的答案是正确的，a、b应满足b=
3
a．
点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识，问题的设置渗透了特殊与一般的辩证思想，并将自主探索与合作交流有机地结合起来，体现了新课程理念，是一道好题．
练习册系列答案
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．
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