阅读下面材料.并解答其后的问题:定义:两组领边分别相等的四边形叫做筝形．如图1.四边形ABCD中.若AD=AB.CD=CB.则四边形ABCD是筝形．类比研究:我们在学完平行四边形后.知道可以从对称性.边.角和对角线四个角度对平行四边形的性质进行研究.请根据示例图形.完成下表:四边形示例图形对称性边角对角线平行四边形两组对边分别平行.两组对边分别相等两组对边分别平行.两组� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．阅读下面材料，并解答其后的问题：
定义：两组领边分别相等的四边形叫做筝形．
如图1，四边形ABCD中，若AD=AB，CD=CB，则四边形ABCD是筝形．
类比研究：
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对平行四边形的性质进行研究，请根据示例图形，完成下表：

四边形	示例图形	对称性	边	角	对角线
平行四边形		两组对边分别平行，两组对边分别相等	两组对边分别平行，两组对边分别相等．	两组对角分别相等．	对角线互相平分．
等腰梯形		①轴对称图形	两组邻边分别相等	有一组对角相等	②一条对角线垂直平分另一条对角线

（1）表格中①、②分别填写的内容是：
①轴对称图形；
②一条对角线垂直平分另一条对角线．
（2）演绎论证：证明筝形有关对角线的性质．
已知：在筝形ABCD中，AD=AB，BC=DC，AC、BD是对角线．
求证：AC垂直平分BD．
证明：
（3）运用：如图3，已知筝形ABCD中，AD=AB=4，CD=CB，∠A=90°，∠C=60°，求筝形ABCD的面积

分析（1）根据对称轴图象的性质即可解决问题；
（2）结论：AC垂直平分BD．只要证明AC是线段BD的垂直平分线即可；
（3）连接AC、BD，AC与BD交于点O．根据S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，分别求出△ABD，△BCD的面积即可；

解答解：（1）①是轴对称图形．
②一条对角线垂直另一条对角线．
故答案为是轴对称图形，一条对角线垂直另一条对角线．

（2）结论：AC垂直平分BD．
理由：如图2中，

∵AD=AB，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵CD=CB，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD．

（3）如图3中，连接AC、BD，AC与BD交于点O．

∵四边形ABCD是筝形，
∴AC⊥BD，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵∠BAD=90°，
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$•AD•AB=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
BD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是的不时间最，
∴CD=CB=4$\sqrt{2}$，
∴OC=$\sqrt{C{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•BD•OC=8$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=8+8$\sqrt{3}$．