如图1.△EAB和△EDC均为等腰直角三角形.B.C.E三点在同一直线上.且$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$.BC=6.在图1中.以点E为位似中心.在△EAB内作△EGF与△EAB位似.相似比是1:k.点H是边CE上一动点.连接GH.HD.如图2．(1)若k=2时.求证:△EGF≌△EDC,(2)若k=4时.是否存在点H使得△HGF和△CDH相似?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图1，△EAB和△EDC均为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，且$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$，BC=6，在图1中，以点E为位似中心，在△EAB内作△EGF与△EAB位似，相似比是1：k（k≠1），点H是边CE上一动点（不与点C、点E重合），连接GH，HD，如图2．
（1）若k=2时，求证：△EGF≌△EDC；
（2）若k=4时，是否存在点H使得△HGF和△CDH相似？如果存在，求出CH的值；如果不存在，请说明理由；
（3）如果△HGF和△CDH相似，求出k的取值应该满足的条件．

分析（1）k=2时，由题意可知EF=FG=2，因为EC=CD=2，不难证明：△EGF≌△EDC．
（2）k=4时，易知EF=FG=1，分两种情形讨论求出CH的值．
（3）先证明HG=HD，利用△HGF∽△DHC得到FG=HC=$\frac{4}{k}$，根据不等式O＜$\frac{4}{k}＜2$求出K的范围即可．

解答解：（1）∵$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$，BC=BE+EC=6，
∴BE=4，EC=2，
∵△EGF与△EAB位似，相似比是1：2，
∴FE=$\frac{1}{2}$BE=2，
∵AB=BE，AB⊥BE，
∴∠A=∠AEB=45°，
∵GF⊥BE，
∴∠GFE=90°，
∴∠FGE=∠GEF=45°，
∴FG=FE=2，
∵EC=CD=2，∠C=90°，
∴EF=FG=EC=CD，∠GFE=∠C=90°，
∴△EGF≌△EDC．
（2）存在．
理由如下：k=4时，∵$\frac{EF}{EB}$=$\frac{1}{k}$，EB=4，
∴EF=FG=1，FC=EF+EC=3，
设HC=x，①当$\frac{FG}{HC}=\frac{FH}{DC}$时△HGF∽△DHC，
∴$\frac{1}{x}=\frac{3-x}{2}$，
解得；x=1或2，
x=2时E、H重合不合题意，
∴x=1，
∴HC=1．
②当$\frac{GF}{DC}=\frac{FH}{HC}$时△HGF∽△HDC，
∴$\frac{1}{2}=\frac{3-x}{x}$，
∴x=2，此时H、E重合不合题意．
综上所述，HC=1．
（3）∵H、E不能重合，
∴只有$\frac{FG}{HC}=\frac{FH}{DC}$时△HGF∽△DHC，
∴∠GHF=∠HDC，
∵∠HDC+∠DHC=90°，
∴∠GHF+∠DHC=90°，
∴∠GHD=90°，
∵∠GEO=∠OHD=90°，∠GOE=∠DOH，
∴△GOE∽△DOH，
∴$\frac{GO}{DO}=\frac{EO}{OH}$，
∴$\frac{GO}{EO}=\frac{DO}{OH}$，
∵∠GOD=∠EOH，
∴△GOD∽△EOH，
∴∠DGO=∠OEH=45°，
∴∠HGD=∠HDG=45°，
∴GH=DH，
∴$\frac{FG}{HC}=\frac{FH}{DC}=\frac{HG}{DH}=1$，
∴FG=EF=HC，
∵$\frac{EF}{EB}=\frac{1}{k}$，
∴HC=EF=$\frac{4}{k}$，
∵点H在线段EC上（不与点C、点E重合），
∴0＜HC＜2，
∴O＜$\frac{4}{k}$＜2
∴K＞2．