Question

7．如图．把直角三角形ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C′的位置上，已知BC=1，∠A=30°．则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线l所围成的面积有多大？

Answer 1

分析 （1）点A经过的路线长是两段弧长，利用弧长公式计算．
（2）点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积加上一个直角三角形的面积，按扇形面积公式和三角形面积公式计算．

解答 解：（1）Rt△ABC中，BC=1，∠A=30°，
则可得AB=2，AC=$\sqrt{3}$，∠CBA=60°，∠ABA′=120°，
则点A到A″所经过的路线为：，l_弧AA′+l_弧A′A″=$\frac{120π×2}{180}$+$\frac{90π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

（2）点A经过的路线与直线l围成的面积为：$\frac{120π•{2}^{2}}{360}$+$\frac{90π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{25π}{12}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查弧长公式、扇形面积公式，在做这道题时，分清这两个弧长，扇形的圆心角和半径分别是多少是解题的关键．